Алгебра и начала анализа в 10-м классе Решение тригонометрических уравнений

  • Коренева Наталья Николаевна, заместитель директора по УВР, учитель математики

Цель: закрепить навык решения
тригонометрических уравнений.

Работа учащихся состоит из нескольких этапов.
Чтобы получить оценку “3”, необходимо пройти 4
этапа, чтобы получить оценку “4” — 5 этапов, чтобы
получить оценку “5” — 6 этапов. На каждом этапе
ученик встретится с указаниями учителя о том, что
нужно знать и уметь, или краткими пояснениями к
выполнению заданий.

Прочитав указания учителя, ученик выполняет
самостоятельные работы данного этапа, проверяет
ответы, сверяя с ответами, которые предоставляет
учитель. Если допущены ошибки, то ученик их
исправляет и решает задания другого варианта,
аналогичные тем, где он допустил ошибки. После
этого можно переходить к следующему этапу.


1 этап.

Цель: закрепить решение простейших
тригонометрических уравнений.

Указания учителя.

Вспомните основные правила решения
тригонометрических уравнений.

(учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 69 – 73)

Выполните письменно самостоятельную
работу (10 минут)

Решите уравнения:

1 вариант 2 вариант
1) cos x = 1/2 1) sin x = -1/2
2) sin x = -/2 2) cos x = /2
3) tg x = 1 3) ctg x = -1
4) cos (x+)
= 0
4) sin (x – /3) = 0
5) 2 cos x = 1 5) 4 sin x = 2
6) 3 tg x = 0 6) 5 tg x = 0
7) sin 4x = 1 7) cos 4x = 0


2 этап.

Цель: закрепить умения решать
тригонометрические уравнения методом сведения к
квадратному.

Указания учителя.

Метод сведения к квадратному состоит в том, что,
пользуясь изученными формулами, надо
преобразовать уравнение к такому виду, чтобы
какую-то функцию (например, sin x или cos x) или
комбинацию функций обозначить через y, получив
при этом квадратное уравнение относительно y.

Пример. 4 – cos2 x = 4 sin x

Так как cos2 x = 1 – sin2 x, то

4 – (1 – sin2 x) = 4 sin x,

3 + sin2 x = 4 sin x,

sin2 x — 4 sin x + 3 = 0,

Пусть y = sin x, получим уравнение

y 2 — 4 y +3 = 0

у1=1; у2=3.

sin x =1 или sin x = 3,

x = /2 + 2 n, n= Z, решений нет.

Ответ: x = /2 + 2 n, n= Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10
минут)

Решите уравнения:

1 вариант 2 вариант
1) tg2 x — 3 tg x + 2 = 0; 1) 2 + cos2 x — 3 cos x = 0;
2) 2 cos2 x + 5 sin x – 4 = 0; 2) 4 — 5 cos x — 2 sin2 x =0;
3) (1 — cos 2x)/2 + 2 sin x = 3; 3) (1 — cos 2x)/2 + 2 sin x = 3.


3 этап.

Цель: закрепить навык решения
тригонометрических уравнений методом
разложения на множители.

Указания учителя.

Под разложением на множители понимается
представление данного выражения в виде
произведения нескольких множителей. Если в одной
части уравнения стоит несколько множителей, а в
другой – 0, то каждый множитель приравнивается к
нулю. Таким образом, данный множитель можно
представить в виде совокупности более простых
уравнений.

Пример. 2 sin3 x — cos 2x — sin x = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos2
x — sin2 x.

(2sin3 x — sin x) – (cos2 x — sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке
sin x, а cos2 x = 1 — sin x.

sin x (2sin2 x – 1) – (1 — 2 sin2 x) = 0,

sin x (2sin2 x – 1) + (2 sin2 x — 1) = 0,

(2 sin2 x — 1) • ( sin x + 1) = 0.

2 sin2 x – 1 = 0 или sin x + 1 = 0
sin2 x = 1/2, sin x = — 1
sin x = ±1/v2

Ответ: x1 = ± /4 + n, n = Z, x2 = — /2 +2k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10
минут)

Решите уравнения:

1 вариант 2 вариант
1) sin2 x — sin x = 0, 1) ctg2 x — 4 ctg x = 0,
2) 3 cos x + 2 sin 2x = 0, 2) 5 sin 2x — 2 sin x = 0.

4 этап.

Цель: закрепить навык решения однородных
уравнений

Указания учителя.

Однородными называются уравнения вида a sin x + b cos
x = 0,

a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, и т.д., где a, b,
c – числа.

Пример 1. 5 sin x — 2 cos x = 0

Поделим обе части уравнения cos x (или на sin x).
Предварительно докажем,

что cos x 0 (или
sin x 0). (Пусть cos
x = 0, тогда 5 sin x — 2 • 0 = 0, т.е. sin x = 0; но этого не может
быть, так как sin2 x + cos2 x = 1).

Значит, можно делить на cos x:

5 sin x /cos x — 2 cos x / cos x = 0 / cos x. Получим уравнение

5 tg x – 2 = 0

tg x = 2/5,

x = arctg 2/5 + n, n =
Z.

Ответ: x = arctg 2/5 + n, n = Z.

Аналогично решаются однородные уравнения вида
a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0, их решение
начинается с того, что обе части уравнения
делятся на cos2 x (или на sin2 x).

Пример 2. 12 sin2 x + 3 sin 2x — 2 cos2 x = 2.

Данное уравнение не является однородным, но его
можно преобразовать в однородное, заменив 3 sin 2x
на 6 sin x cos x и число 2 на 2sin2 x + 2cos2 x.

Приведя подобные члены, получим уравнение

10sin2 x + 6sin x cos x — 4 cos2 x = 0.

(Пусть cos x = 0, тогда 10sin2 x = 0, чего не может
быть, т.к. sin2 x + cos2 x = 1, значит, cos x 0).

Разделим обе части уравнения на cos2 x.

10 tg2 x +6 tg x — 4 = 0,

tg x = -1 или tg x = 2/5,

x = — /4 + n, n = Z, x = arctg 2/5 + k, k = Z.

Ответ: x1 = — /4 + n, n =
Z, x2 = arctg 2/5 + k, k = Z.

Выполните письменно самостоятельную работу (10
минут)

Решите уравнения:

1 вариант 2 вариант
1) sin x — cos x = 0, 1) 5sin x +6cos x = 0,
2) sin2 x — sin 2x = 3 cos2 x, 2) 3sin2 x — 2sin 2x +5cos2 x = 2.


5 этап.

Указания учителя.

Вы прошли 4 этапа, теперь вам самостоятельно
придется выбрать метод решения уравнений.
Вспомните основные тригонометрические формулы.

(Учебник А.Н.Колмогорова и др. с. 7 — 9)

Выполните письменно самостоятельную работу (20
минут)

Решите уравнения:

1 вариант 2 вариант
1) cos 2x -5 sin x – 3 = 0, 1) cos 2x + 3 sin x = 2,
2) sin 2x + cos 2x = 0, 2) sin 2x — cos 2x = 0,
3) cos2 x — cos 2x = sin x, 3) 6 — 10cos2 x + 4cos 2x = sin 2x,
4) sin 4x — cos 2x = 0, 4) cos x cos 2x = 1,
5) 5 — 5 cos (/2 — x ) = 2 cos2 ( – x), 5) cos2 (/2 + x ) — cos2 (2 + x) = /2.

6 этап.

Указания учителя.

Молодцы! Вы прошли 5 этапов. Целью вашей
дальнейшей работы является применение своих
знаний и умений в более сложных ситуациях.

Выполните письменно самостоятельную работу

(Задания даются в одном варианте, т.к. их решают
не все учащиеся. Время, отводимое на эту работу,
определяется учителем (ситуацией на уроке)).

Решите уравнения:

  1. sin 6x + cos 6x = 1 — sin 3x,
  2. 29 — 36 sin2 (x – 2) — 36 cos (x – 2) = 0,
  3. 2sin x cos x + – 2 cos
    x — v3 sin x = 0,
  4. sin 4x = 2 cos2 x – 1,
  5. sin x (sin x + cos x ) = 1,
  6. 1/(1 + cos2 x) + 1/(1 + sin2 x) =16/11.

Подсказки:

  1. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 6x,
    cos 6x.
  2. Обозначьте x – 2 = y, решите уравнение, сведя его к
    квадратному с помощью формулы sin2 y = 1 — cos2
    y.
  3. Сгруппируйте первое и третье слагаемое,
    примените разложение на множители.
  4. Воспользуйтесь формулой двойного угла для sin 4x,
    cos 4x, формулой понижения степени 2cos2 x – 1 = cos
    2x.
  5. Раскройте скобки, примените основное
    тригонометрическое тождество.
  6. Приведите дроби к общему знаменателю, затем
    используйте основное тригонометрическое
    тождество sin2 x + cos2 x = 1, сведите
    уравнение к квадратному.

Оцените свои работы самостоятельно.

Домашнее задание:

Если вы выполнили задания всех этапов, то дома
№ 163-165 – любое уравнение (учебник А.Н.Колмогорова
и др. с. 333)

Если вы выполнили задания 5 этапов, то дома
задания 6 этапа.

Если вы выполнили задания 4 этапов, то дома
задания 5 этапа, и т.д.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *