Метод оценки при решении тригонометрических уравнений

Однажды известного физика А.Эйнштейна
спросили: “Как делаются открытия?” Эйнштейн
ответил: “А так: все знают, что вот этого делать
нельзя. И вдруг появляется человек, который не
знает, что этого нельзя. Он и делает открытие”.
Конечно, это была лишь шутка. Дело не в том, чтобы
не знать. Знать надо! А ещё надо сомневаться, не
брать на веру всё, чему учили деды, копать глубже,
смотреть лучше. И сегодня я предлагаю вам отойти
от традиционных решений, попробовать взглянуть
на задания с необычной стороны.

1. Решим уравнение

cos · cos = 1.

Наверное, можно применить формулы двойного и
тройного угла, но мы попробуем оценить выражения,
входящие в уравнение. Поскольку cos t не больше 1, то
при умножении можно получить 1 только в одном из
случаев:

Вторая система не имеет решений, а решениями
первой системы, а значит и первоначального
уравнения, являются = 2 m, где m є z.

2. Решим уравнение

cos · cos = 1.

Не забудем, что решениями могут являться
значения х не меньше 4, поскольку выражение (х
– 4) находится под знаком арифметического
квадратного корня. Из тех же соображений, что и
при решении примера 1, получим, что при умножении
можно получить 1 только в одном из случаев:

Решая отдельно эти системы, получим, что
решением первой системы является число 4, а у
второй системы решений нет.

Таким образом, х = 4 – решение
первоначального уравнения.

3. Решим уравнение:

3cos х – 4sin х =.

Легко показать, что выражение, стоящее в левой
части уравнения

-5 3 cos х
– 4 sin х
5,

а выражение, стоящее в правой части уравнения

= = 6.

Таким образом, данное уравнение решений не
имеет.

4. Решим уравнение:

sin – sin · cos = 1, 5.

Используя метод вспомогательного угла, оценим
выражение, стоящее в левой части уравнения.
Получим, что

sin х – sin
· cos х =
·(sin · sin х
– cos · cos х)
=

= – · cos,

где = ± arccos .

При этом,

0 sin²
15x 1,

1 2,

1 и

— · cos .

Таким образом, левая часть , а правая равна 1,5. А это невозможно.
Значит, уравнение решений не имеет.

5. Решим уравнение

sin – sin = cos· cos х + 2 cos – 6.

Запишем уравнение в виде sin – 2 cos = cos ·
cos + sin – 6. А теперь оценим,
используя метод вспомогательного угла,
выражения, стоящие в левой и правой частях
уравнения.

1) sin – 2 cos = ·

= — cos = – 4 cos и -4 – 4 cos 4.

2) cos · cos х
+ sin х – 6 =
· ( cos · cos x + sin · sin x) – 6 =

= cos – 6,

где = ± arccos .

При этом,

0 cos² 24x 1,

3 3 + cos² 24x 4,

2,

– 2 cos 2,

– 8 cos – 6 – 4.

Таким образом, левая часть – 4, а правая часть
– 4. Их равенство возможно только при выполнении
условия:

Решая эту систему, получим, что х = + 2m, где m Z.

6. Для каждого а решить уравнение 4 cos х · sin a +2
sin х · cos a – 3 cos a =.

4 cos х · sin a + (2 sin х – 3) ·cos a =.

Оценим выражение, стоящее в левой части
уравнения:

4 cos х · sin a + (2 sin х – 3) ·cos a = · (sin · sin а +

+ cos · cos а) = cos =

=cos = cos ,

где = ± arccos .

При этом, – 12 sin²
– 12 sin + 25 = -12 ·
( sin² + sin – ) =

= – 12 · = – 12
· =

= – 12 · + 28 28, а 0 .

Таким образом, cos
= при

Поскольку,
= ±arccos + 2?k =

= ±arccos + 2k = ± arccos + 2k=

= ± arccos + 2k == ± arccos + 2k,

Я надеюсь, вам понравился такой способ решения
уравнений и неравенств, ведь он действительно
похож на маленького пони, которого так легко
обнять (то есть применить метод оценки частей
уравнений и неравенств), но для этого его надо
понять и полюбить.