- Удовицкая Марина Викторовна, учитель математики
Методы решения показательных уравнений
1. Простейшие показательные уравнения
Тип уравнения | Вид уравнения | Метод решения | ||
1 | (x) | |||
2 |
b = a | b
b>0 |
b
b |
|
=
f(x) = 1 |
f(x) = | Решений нет |
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 34x-5 = 3x+4
.
Решение.
34x-5 = 3x+4 <=> 4x 5 = x+4 <=> 3x=9<=> x = 3
.
Ответ:3
Пример 2. Решите уравнение: 2x-4 = 3 .
Решение.
2x-4 = 3 <=> x- 4 = x = + 4 <=> x = +
<=> x =
.
Ответ:.
Пример 3. Решите уравнение:-3x = -7 .
Решение.
-3x
= -7 , решений нет, так как -3x > 0 для x R .
Ответ: .
2. Методы преобразования показательных
уравнений к простейшим.
A. Метод уравнивания оснований.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 27- = 0 .
Решение.
27- = 0 <=> 3334x-9— (32)x+1
= 0 <=> 33+ (4x-9)— 32(x+1) = 0<=> 34x-6-32x+2
= 0 <=> 34x-6 = 32x+2<=> 4x-6=2x+2 <=> 2x =
8 <=> x=4.
Ответ: 4.
Пример 2. Решите уравнение: .
Решение.
0
<=> (22)x3x5x
= 604x-15 <=> 4x3x5x
= 604x-15 <=> (4x = 604x-15 <=> 60x=604x-15
<=> <=>x=4x-15 <=> 3x=15 <=> x=5.
Ответ: 5.
В. Уравнения, решаемые разложением на
множители.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: x2x = 22x + 8x-16.
Решение.
x2x = 22x + 8x-16 <=>
x2x — 22x = 8x-2) <=> 2x(x-2) — 8 <=>
(x-2) x
— 8) = 0 <=> <=> <=> <=> .
Ответ:
Пример 2 . Решите уравнение:
Решение.
52x — 7x — 52x35 +7x = 0 <=> (52x
— 7x)((
Ответ: 0.
С. Уравнения, которые с помощью подстановки
f(x)
= t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям
(или к уравнениям более высоких степеней).
Пусть , где А, В, С — некоторые числа. Сделаем
замену:
>0,
тогда A2
+ B + C = 0
Решаем полученное уравнение, находим значения
t, учитываем условие t >0 , возвращаемся к
простейшему показательному уравнению f(x) =
t, решаем его и записываем ответ.
Примеры.
Пример 1 . Решите уравнение: 22+x — 22-x
= 5.
Решение.
22+x — 22-x = 5 <=> 222x — = 15 <=> 4(2x)2 — 4 = 15x
Делаем замену t = 2x, t > 0. Получаем
уравнение 42 — 4 = 15t <=> 4t2 — 15t — 4=0
<=>
, t = не
удовлетворяет условию t > 0.
Вернемся к переменной х:
2х = 4<=> 2x = 22 <=> x=2.
Ответ: 2
Пример 2. Решите уравнение:
Решение.
5
Делаем замену: , тогда Получаем уравнение:
5 , t = не
удовлетворяет условию t
Вернемся к переменной Х:
Ответ: 2.
D. Уравнения, левая часть которых имеет вид A
nx + B kx bmx + С bnx, где k, m N, k + m = n
Для решения уравнения такого типа необходимо
обе части уравнения разделить либо на nx,
либо на nx
и получится уравнение типа С).
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 222x — 5x + 332x = 0.
Решение.
222x — 5x + 332x = 0 <=> 22x — 5x3x + 332x = 0 <=> 2 — + 3 = 0 <=>
<=> 22x
— 5x
+ 3 = 0
Пусть t = x, t>0 , тогда 2t- 5t + 3 = 0 <=> , оба значения t удовлетворяют
условию t Вернемся
к переменной х:
<=>
<=> .
Ответ:
Пример 2. Решите уравнение: 8x + 18x
— 227x
= 0 .
Решение.
8x + 18x — 227x = 0 <=> + — 2 = 0
<=> 23x + 2x 32x — 233x = 0<=>
<=>
+ — 2 = 0
<=> + — 2 = 0.
Пусть
= t, t>0 , тогда t3 + t — 2 = 0<=> (t3 — 1) + (t
-1 )= 0 <=> (t-1) (t2 +t +1) + (t — 1) <=> (t — 1) (t2 + t +2) = 0 <=> <=> t —
1= 0 <=> t=1. (t>0)
Вернемся к переменной х: = 1 <=> = x = 0 .
Ответ: 0.
К данному типу уравнений относятся уравнения ,
левая часть которых имеет вид , где А, В, С -некоторые числа,
причем .
Уравнения такого типа решаются с помощью
подстановки :
=
t , тогда =
.
Пример 3. Решите уравнение:
Решение.
Заметим, что произведение оснований степени
равно единице:
(.
Поэтому можно ввести новую переменную: , причем . Получим
уравнение:
t ,оба
корня удовлетворяют условию :.
Вернемся к переменной х:
.
Ответ: .
Е. Уравнения, имеющие вид Aam = Bbm.
Для решения необходимо обе части уравнения
разделить либо на am, либо на bm. В
результате получается простейшее уравнение.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 7х = 5х.
Решение.
7х = 5х <=> = 1 <=> = <=> x = 0.
Ответ: 0.
Пример 2. Решите уравнение: .
Решение.
.
Ответ: 2.
F. Метод, основанный на использовании
свойства монотонности показательной функции .
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: .
Решение.
Заметим, что при х=1 уравнение обращается в
тождество. Следовательно, х=1 — корень уравнения.
Перепишем уравнение в виде
(*)
Так как при основании, меньшем единицы,
показательная функция убывает на R, то при х левая
часть уравнения (*) больше единицы, то есть
Если то
левая часть уравнения меньше единицы, то есть
Поэтому, других корней, кроме х=1, уравнение не имеет.
Ответ: 1.
Пример 2. Решите уравнение: .
Решение.
Это уравнение также обращается в тождество при
х=1.
Перепишем уравнение в виде:
.
При основании, меньшем единицы, показательная
функция убывает на R.
Поэтому при х а при х: . Таким образом, других корней, кроме х=1 ,
уравнение не имеет.
Ответ: 1.
G. Графический способ решения
уравнений вида f(x).
Чтобы графически решить уравнение такого
вида, необходимо построить графики функций y=f(x) в одной
системе координат и найти (точно или приближенно)
абсциссы точек (если они есть) пересечения этих
графиков. Абсциссы этих точек — корни данного
уравнения (точность результатов определяем
только после подстановки в уравнение ).
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: .
Решение.
1.Рассмотрим две функции: f(x) = и g(x) = x+1.
2.Графиком функции f(x) = является кривая,
расположенная в верхней полуплоскости, графиком
функции g(x) = x+1 является прямая.
3. Зададим таблицы значений этих функций:
х -1 0 1 2 3 f(x) = 1 2 4 х 0 3 g(x)= x+1 1 4
4. Из рисунка видно, что прямая и кривая
пересекаются в двух точках- в точке А и в точке В.
По графику определяем абсциссы этих точек: . Значит,
уравнение имеет два корня: х=3 и х= . Число х=3 — точный
корень заданного уравнения, так как при
подстановке в это уравнение получается верное
числовое равенство:
Ответ: 3; .
Пример 2. Решите уравнение: .
Решение.
1. Рассмотрим две функции f(x) = и g(x) = .Используем
свойства степени и преобразуем выражение :
= , тогда
вторую формулу можно переписать в виде: f(x) = .
2. Функция f(x) = — показательная по основанию и ее
графиком является кривая, расположенная в
верхней полуплоскости.
Функция g(x) =- прямая пропорциональность и ее график —
прямая, проходящая через точку .
3. Зададим таблицы значений этих функций и затем
построим их графики в одной системе координат.
х -3 -2 -1 0 1 2 f(x) = 8 4 2 1 х 1 4 g(x) = 2
4. Графики пересекаются в одной точке — в точке
А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 — корень
заданного уравнения.
Примечание:
Если одна часть уравнения содержит убывающую
функцию f(x) , а другая часть -возрастающую
функцию g(x), и уравнение имеет корень х=, то он
-единственный.
В примере 2. : f(x) = убывающая на R функция, а g(x = —
возрастающая на R функция, х=1- корень уравнения и
он единственный.
Ответ: 1.
Приложение к статье «Методы
решения показательных уравнений»