Методы решения показательных уравнений

Методы решения показательных уравнений

1. Простейшие показательные уравнения

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 3^4x-5 = 3^x+4
.

Решение.

3^4x-5 = 3^x+4 <=> 4x 5 = x+4 <=> 3x=9<=> x = 3
.

Ответ:3

Пример 2. Решите уравнение: 2^x-4 = 3 .

Решение.

2^x-4 = 3 <=> x- 4 = x = + 4 <=> x = +
<=> x =
.

Ответ:.

Пример 3. Решите уравнение:^-3x = -7 .

Решение.

^-3x
= -7 , решений нет, так как ^-3x > 0 для x R .

Ответ: ^.

2. Методы преобразования показательных
уравнений к простейшим.

A. Метод уравнивания оснований.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 27- = 0 .

Решение.

27- = 0 <=> 3³3^4x-9— (3²)^x+1
= 0 <=> 3^{3+ (4x-9)}— 3^2(x+1) = 0<=> 3^4x-6-3^2x+2
= 0 <=> 3^4x-6 = 3^2x+2<=> 4x-6=2x+2 <=> 2x =
8 <=> x=4.

Ответ: 4.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

0
<=> (2²)^x3^x5^x
= 60^4x-15 <=> 4^x3^x5^x
= 60^4x-15 <=> (4^x = 60^4x-15 <=> 60^x=60^4x-15
<=> <=>x=4x-15 <=> 3x=15 <=> x=5.

Ответ: 5.

В. Уравнения, решаемые разложением на
множители.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: x2^x = 22^x + 8x-16.

Решение.

x2^x = 22^x + 8x-16 <=>
x2^x — 22^x = 8x-2) <=> 2^x(x-2) — 8 <=>
(x-2) ^x
— 8) = 0 <=> <=> <=> <=> .

Ответ:

Пример 2 . Решите уравнение:

Решение.

5^2x — 7^x — 5^2x35 +7^x = 0 <=> (5^2x
— 7^x)((

Ответ: 0.

С. Уравнения, которые с помощью подстановки
^f(x)
= t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям
(или к уравнениям более высоких степеней).

Пусть , где А, В, С — некоторые числа. Сделаем
замену:
>0,
тогда A²
+ B + C = 0

Решаем полученное уравнение, находим значения
t, учитываем условие t >0 , возвращаемся к
простейшему показательному уравнению ^f(x) =
t, решаем его и записываем ответ.

Примеры.

Пример 1 . Решите уравнение: 2^2+x — 2^2-x
= 5.

Решение.

2^2+x — 2^2-x = 5 <=> 2²2^x — = 15 <=> 4(2^x)² — 4 = 15^x

Делаем замену t = 2^x, t > 0. Получаем
уравнение 4² — 4 = 15t <=> 4t² — 15t — 4=0

<=>
, t = не
удовлетворяет условию t > 0.

Вернемся к переменной х:

2^х = 4<=> 2^x = 2² <=> x=2.

Ответ: 2

Пример 2. Решите уравнение:

Решение.

5

Делаем замену: , тогда Получаем уравнение:

5 , t = не
удовлетворяет условию t

Вернемся к переменной Х:

Ответ: 2.

D. Уравнения, левая часть которых имеет вид A
^nx + B ^kx b^mx + С b^nx, где k, m N, k + m = n

Для решения уравнения такого типа необходимо
обе части уравнения разделить либо на ^nx,
либо на ^nx
и получится уравнение типа С).

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 22^2x — 5^x + 33^2x = 0.

Решение.

22^2x — 5^x + 33^2x = 0 <=> 2^2x — 5^x3^x + 33^2x = 0 <=> 2 — + 3 = 0 <=>

<=> 2^2x
— 5^x
+ 3 = 0

Пусть t = ^x, t>0 , тогда 2t- 5t + 3 = 0 <=> , оба значения t удовлетворяют
условию t Вернемся
к переменной х:

<=>
<=> .

Ответ:

Пример 2. Решите уравнение: 8^x + 18^x
— 227^x
= 0 .

Решение.

8^x + 18^x — 227^x = 0 <=> + — 2 = 0
<=> 2^3x + 2^x 3^2x — 23^3x = 0<=>

<=>
+ — 2 = 0
<=> + — 2 = 0.

Пусть
= t, t>0 , тогда t³ + t — 2 = 0<=> (t³ — 1) + (t
-1 )= 0 <=> (t-1) (t² +t +1) + (t — 1) <=> (t — 1) (t² + t +2) = 0 <=> <=> t —
1= 0 <=> t=1. (t>0)

Вернемся к переменной х: = 1 <=> = x = 0 .

Ответ: 0.

К данному типу уравнений относятся уравнения ,
левая часть которых имеет вид , где А, В, С -некоторые числа,
причем .

Уравнения такого типа решаются с помощью
подстановки :

=
t , тогда =
.

Пример 3. Решите уравнение:

Решение.

Заметим, что произведение оснований степени
равно единице:

(.
Поэтому можно ввести новую переменную: , причем . Получим
уравнение:

t ,оба
корня удовлетворяют условию :.

Вернемся к переменной х:

.

Ответ: .

Е. Уравнения, имеющие вид Aa^m = Bb^m.

Для решения необходимо обе части уравнения
разделить либо на a^m, либо на b^m. В
результате получается простейшее уравнение.

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: 7^х = 5^х.

Решение.

7^х = 5^х <=> = 1 <=> = <=> x = 0.

Ответ: 0.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

.

Ответ: 2.

F. Метод, основанный на использовании
свойства монотонности показательной функции .

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: ^.

Решение.

Заметим, что при х=1 уравнение обращается в
тождество. Следовательно, х=1 — корень уравнения.
Перепишем уравнение в виде

^(*)

Так как при основании, меньшем единицы,
показательная функция убывает на R, то при х левая
часть уравнения (*) больше единицы, то есть

Если то
левая часть уравнения меньше единицы, то есть

Поэтому, других корней, кроме х=1, уравнение не имеет.

Ответ: 1.

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

Это уравнение также обращается в тождество при
х=1.

Перепишем уравнение в виде:

.

При основании, меньшем единицы, показательная
функция убывает на R.

Поэтому при х а при х: . Таким образом, других корней, кроме х=1 ,
уравнение не имеет.

Ответ: 1.

G. Графический способ решения
уравнений вида f(x).

Чтобы графически решить уравнение такого
вида, необходимо построить графики функций y=f(x) в одной
системе координат и найти (точно или приближенно)
абсциссы точек (если они есть) пересечения этих
графиков. Абсциссы этих точек — корни данного
уравнения (точность результатов определяем
только после подстановки в уравнение ).

Примеры.

Пример 1. Решите уравнение: .

Решение.

1.Рассмотрим две функции: f(x) = и g(x) = x+1.

2.Графиком функции f(x) = является кривая,
расположенная в верхней полуплоскости, графиком
функции g(x) = x+1 является прямая.

3. Зададим таблицы значений этих функций:

х		-1		0	1	2	3
f(x) =					1	2	4
х	0		3
g(x)= x+1	1		4

4. Из рисунка видно, что прямая и кривая
пересекаются в двух точках- в точке А и в точке В.
По графику определяем абсциссы этих точек: . Значит,
уравнение имеет два корня: х=3 и х= . Число х=3 — точный
корень заданного уравнения, так как при
подстановке в это уравнение получается верное
числовое равенство:

Ответ: 3; .

Пример 2. Решите уравнение: .

Решение.

1. Рассмотрим две функции f(x) = и g(x) = .Используем
свойства степени и преобразуем выражение :

= , тогда
вторую формулу можно переписать в виде: f(x) = .

2. Функция f(x) = — показательная по основанию и ее
графиком является кривая, расположенная в
верхней полуплоскости.

Функция g(x) =- прямая пропорциональность и ее график —
прямая, проходящая через точку .

3. Зададим таблицы значений этих функций и затем
построим их графики в одной системе координат.

х	-3			-2	-1	0	1	2
f(x) =	8			4	2	1
х		1	4
g(x) =			2

4. Графики пересекаются в одной точке — в точке
А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 — корень
заданного уравнения.

Примечание:

Если одна часть уравнения содержит убывающую
функцию f(x) , а другая часть -возрастающую
функцию g(x), и уравнение имеет корень х=, то он
-единственный.

В примере 2. : f(x) = убывающая на R функция, а g(x = —
возрастающая на R функция, х=1- корень уравнения и
он единственный.

Ответ: 1.

Приложение к статье «Методы
решения показательных уравнений»