- Лепская Ирина Алексеевна, старший преподаватель кафедры математики и информатики
Задачи с параметрами (ЗсП) традиционно являются
наиболее сложными для учащихся, поскольку
требуют от них умения логически рассуждать и
проводить анализ решения. Подобные задачи
являются первыми исследовательскими задачами, с
которыми встречаются школьники. Для их решения
не требуются знания, выходящие за пределы
школьной программы, но недостаточно применения
лишь стандартных приемов, а необходимо глубокое
понимание всех разделов элементарной
математики.
В данной статье предпринята попытка
систематизации и формализации (в форме блок-схем)
наиболее часто встречающихся и наиболее
типичных ЗсП. При этом выделены классы задач,
решаемых по единой методике.
Рассматриваются аналитические методы решения
ЗсП, сводящиеся к исследованию линейных или
квадратных уравнений (неравенств), а также
квадратного трехчлена. Такой выбор обусловлен
тем, что курс школьной математики ограничен
«вглубь», по существу, «теорией квадратичного».
Линейные уравнения
Определение. Уравнение вида ax=b, где
a, b принадлежат множеству всех действительных
чисел, будем называть стандартным видом
линейного уравнения. Всевозможные варианты,
возникающие при решении линейных уравнений,
отразим в блок–схеме I.
Количество корней линейного уравнения отразим
в блок-схеме II:
Пример 1. Для всех
действительных значений параметра m решите
уравнение m2x–2=4x+m.
Решение. Приведем заданное линейное
уравнение к стандартному виду:
m2x–2=4x+m, m2x–4x=m+2, (m2–4)x=m+2.(1)
Следуя схеме I, рассмотрим два случая для
коэффициента при x:
1)если m2 – 4 не равно 0, m не равно ±2, то
x=(m+2)/(m2-4), x=1/(m–2);2)m2 – 4=0, то
а) при m = –2 уравнение (1) примет вид 0х=0, отсюда х
– любое действительное число;б) при m = 2 уравнение (1) примет вид 0х= 4, отсюда
следует, что корней нет.
Ответ. Если m<–2, –2
x=1/(m–2); если m= – 2, то x – любое действительное
число; если m=2, то корней нет.
Пример 2. При каких значениях
параметра k уравнение 2(k–2x)=kx+3 не имеет корней?
Решение. 2(k–2x)=kx+3, (k+4)x=2k–3. В силу схемы
II уравнение не имеет корней, если k+4=0 и 2k–3 не
равно 0 => k= –4 и k не равно 1,5 => k = –4.
Ответ. k=–4.
Системы линейных уравнений
Определение 1. Система называется
совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
Определение 2. Система называется
несовместной, если она не имеет ни одного
решения.
Количество решений системы линейных уравнений
отразим в блок-схеме III.
Замечание. Так как уравнение прямой y=kx+b в
общем виде записывается следующим образом ax+by+c=0,
то взаимное расположение двух прямых отразим в
блок-схеме IV.
Пример. При каких значениях параметра c
система из двух уравнений c2x+(2–c)y–4=c3 и
(2c–1)y+cx+2=c5 совместна?
Решение. Запишем систему в
стандартном виде: c2x+(2–c)y=c3+4 и cx+(2c–1)y=c5–2.
Сначала найдем значения c, при которых эта
система не имеет решений. В силу схемы III имеем
условие,
c2/с=(2-с)/(2с–1), с не равно (c3+4)/(c5–2),
которое равносильно системе из уравнения и
неравенства
с=(2–с)/(2с–1) и с не равно (c3+4)/(c5–2).
Решением системы является с=1. Итак, система
имеет решения при всех действительных значениях
с, кроме с=1.
Ответ. с — любое действительное число,
с не равно 1.
Линейные неравенства
Определение. Неравенство вида ax>b,
ax> b, ax< b будем называть
стандартным видом линейного неравенства.
Всевозможные ситуации, возникающие при
решении, например, линейного неравенства ax>b,
отразим в блок-схеме V.
Пример. Для всех значений
параметра m решите неравенство 5x–m>mx–3.
Решение. 5x–m>mx–3, (5–m)x>m–3.
Следуя схеме V, рассмотрим три случая для
коэффициента при х:
1)если 5–m>0, m<5, то х>(m–3)/(5–m);
2)если 5–m<0, m>5, то x<(m–3)/(5–m);
3)если 5–m=0, m=5, то 0х>2. Откуда следует, что
решений нет.
Ответ. Если m<5, то х>(m–3)/(5–m); если m=5,
то решений нет; если m>5, то х<(m–3)/(5–m).
Квадратные уравнения
Определение. Уравнение вида ax2+bx+c=0,
где a, b, c — любые действительные числа, a>0,
называется квадратным уравнением относительно
действительного переменного x.
Ситуации, возникающие при решении квадратных
уравнений, отразим в блок–схеме VI.
Пример. При каких значениях параметра
c уравнение (c–2)x2+2(с–2)x+2=0 не имеет корней?
Решение. Рассмотрим два случая:
1) если с–2 не равно 0, c не равно 2, то D<0, D/4<0, (c–2)2–2(c–2)<0, (c–2)(c–4)<0, 2
2) если с–2=0, c=2, то заданное уравнение примет вид
0x2+0x+2=0, 2=0; т.е. уравнение не имеет корней.
Ответ: любое действительное с, не
равное 2.
Знаки корней квадратного
уравнения
Всевозможные комбинации знаков корней
квадратного уравнения отразим в следующей
блок–схеме:
где D – дискриминант.
Пример. При каких значениях параметра c
уравнение (c–1)x2+(c+4)x+c+7=0 имеет только
отрицательные корни?
Решение. В силу условия задачи
необходимо рассмотреть два случая (линейный и
квадратичный):
1) если c–1=0, c=1, то уравнение примет вид 5x+8=0, x= –5/8
– отрицательный корень;
2) если c–1 не равно 0, c не равно 1, то, следуя схеме
VII, получим систему
Решением ее являются промежутки –22/3<c<–7,
1
получим
Ответ. –22/3<c<–7, 1<c<2.
Парабола
Определение. Функция вида y=ax2+bx+c,
где a не равно 0, называется квадратичной. График
квадратичной функции называется параболой.
Абсциссы точек пересечения параболы y=ax2+bx+c
с осью (Ox) являются корнями уравнения ax2+bx+c=0.
Учитывая это, отразим взаимное расположение
параболы и оси (Ox) в следующей схеме:
Замечание. Если уравнение параболы
имеет вид y=a(x–p)2+q, то (p; q) – координаты
вершины параболы.
Пример 1. При каких значениях
параметра a вершина параболы y=(x–7a)2+a2–10+3a
лежит в III координатной четверти?
Решение. Пусть (x0, y0) –
координаты вершины параболы. В силу замечания
имеем x0=7a, y0=a2–10+3a. Так как
вершина параболы лежит в третьей четверти, то
Ответ. –5
Пример 2. При каких значениях Решение. Рассмотрим два случая. 1. Пусть 4–b2=0, b=+2; 1) если b=2, то прямая y=8x–1 не лежит ниже оси (Ox); 2) если b= –2, то прямая y= –1 лежит ниже оси (Ox). 2. Пусть 4–b2 не равно 0. Тогда в
Объединяя ответы, получим b<;–2. Ответ. b<–2. Расположение корней квадратного Пусть x1 и x2 – корни квадратного
Следствие. С учетом схемы IX схема VII для
Пример. При каких значениях параметра Решение. Введем функцию y(x)=x2–2(a+3)x+a2+6,25a+8;
Ответ. 0<;4. Задачи, сводящиеся к исследованию Пример 1. При каких значениях Решение. Данная задача равносильна x2+(3–2b)x+4b–10=0,(1) 2x2–2x–1>(2) имеет одно решение? Решим неравенство (2): 2x2–2x–1>0, x1,2=0,5(1±(3)1/2), Найдем корни уравнения (1): D=(2b–7)2, x1=2, 1) если x2=2b–5 не удовлетворяет неравенству 2) если x2=x1, то есть 2b–5=2, то b=3,5. Ответ. 0,25(11–(3)1/2)<b<0,25(11+(3)1/2), Пример 2. При каких значениях Решение. Преобразуем заданное 5– 4sin2x–8cos2(x/2)=3p => 5–4(1–cos2x)–4(1+cosx)=3p Сделаем замену cosx=t. Тогда заданная задача 4t2–4t–3p–3=0, (1) имеет решения? Это возможно в следующих 1) t1, t2 лежат в промежутке (–1; 1); 2) t1 принадлежит интервалу (–1,1), t2 3) t1=1 или t2=1. Введем функцию y(t)=4t2–4t–3p–3; t0–вершина
Ответ: –4/3< p <5/3.
параметра b график функции y=(4–b2)x2+2(b+2)x–1
лежит ниже оси (Ox)?
соответствии со схемой VIII получим
уравнения
уравнения ax2+bx+c=0. Введем функцию y(x)= ax2+bx+c.
Тогда расположение корней этого уравнения на
числовой оси отразим в блок–схеме IX.
знаков корней квадратного уравнения примет
следующий вид:
a корни уравнения x2–2(a+3)x+a2+6,25a+8=0
больше 2?
x0 – абсцисса вершины этой параболы. Так как
корни уравнения находятся справа от числа 2, то в
соответствии со схемой IX имеем:
расположения корней квадратичной функции
параметра b уравнение (x2+(3–2b)x+4b–10)X(2x2–2x–1)-0.5=0
имеет один корень?
следующей: при каких значениях параметра b
система
x<0,5(1–(3)1/2) или x>0,5(1+(3)1/2).
x2=2b–5. Поскольку корень x1=2
удовлетворяет неравенству (2), то система имеет
одно решение в следующих случаях:
(2), то 0,5(1–(3)1/2)<2b–5<0,5(1+(3)1/2)
или 0,25(11–O3)<b<0,25(11+(3)1/2);
b=3,5.
параметра p уравнение 5–4sin2x–8cos2(x/2)=3p
имеет корни?
уравнение:
=> 4cos2x–4cosx–3p–3=0.
равносильна следующей: при каких значениях p
система
-1 < t < 1
случаях:
лежит на отрезке [–1, 1];
этой параболы. В силу схемы IX случаи 1, 2 и 3
описываются следующей совокупностью: