Функция распределения случайной величины. Урок по теории вероятностей и статистике для 11-го класса

  • Горшенина Татьяна Валентиновна, учитель математики

Тип: изучение нового материала.
Цели: Образовательные: ввести понятия
функции распределения случайной величины,
непрерывной случайной величины, плотности
распределения.

Развивающие: показать
применение определенного интеграла к задачам
теории вероятностей, дать представление об
определенном интеграле с бесконечными пределами
интегрирования, развивать логическое мышление,
умение обобщать полученные знания.

Воспитательные: развивать внимание,
аккуратность, умение вести дискуссию.

Оборудование: компьютер, проектор или интерактивная
доска.

Ход урока

I. Оргмомент. Тема, цели, план урока.

II. Повторение. Геометрическая вероятность.

Задача 1. На круг радиуса R
случайным образом бросается точка.

Найдите вероятность того, что точка попадет в
закрашенное кольцо.

Решение.

Задача 2. На круговую мишень случайным
образом бросается точка.

Значения случайной величины X – количество
очков, выбитое при попадании в определенный круг
мишени. Составьте таблицу распределения
вероятностей случайной величины X. Радиусы
окружностей на мишени 10 см, 20 см и 30 см.

Решение.

X 1 2 3
PX 5/9 1/3 1/9

III. Функция распределения.

Некоторые свойства функции распределения:

Задача 3. Постройте функцию
распределения для случайной величины из задачи 2.

Решение.

IV. Непрерывные случайные величины.
Плотность распределения.

Некоторые свойства плотности распределения:

Пример непрерывной случайной величины. Для
случайного опыта из задачи 2 рассмотрим
случайную величину R – расстояние от точки,
брошенной на мишень, до центра мишени. Величина R
принимает все значения из промежутка .

Задача 4. Найти плотность
распределения для случайной величины R.

Решение. Вероятность попадания точки в
кольцо с внутренним радиусом a см и внешним
радиусом b см равна . Из таблицы интегралов для
элементарных функций и формулы Ньютона-Лейбница
нам известно, что . Сравнивая два этих выражения и
используя свойства интегралов, заключаем, что
искомая плотность распределения равна при и вне этого промежутка.

V. Домашнее задание.

Задача 5. Рассмотрим эксперимент с
подбрасыванием двух кубиков и случайную
величину M – максимальное из двух чисел на
кубиках. Постройте функцию распределения для
величины M.

Решение.


M 1 2 3 4 5 6
PM 1/36 1/12 5/36 7/36 1/4 11/36

Задача 6. На числовой отрезок [2;5]
случайным образом бросается точка. Найдите
плотность распределения для случайной величины X
– координаты точки.

Решение. Вероятность попадания точки на
отрезок [a;b] () равна .
Из таблицы интегралов для элементарных функций и
формулы Ньютона-Лейбница нам известно, что . Сравнивая два
этих выражения, заключаем, что искомая плотность
распределения равна при и вне этого
промежутка.

VI. Итог урока.

  1. Что такое функция распределения случайной
    величины?
  2. Приведите примеры дискретных и непрерывных
    случайных величин.
  3. Что такое плотность распределения случайной
    величины?

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *